1) Дано: BK и AD — медианы треугольника ABC, KM ∥ AD, KC = 8 см, CM = 5 см. Вычислите длины сторон BC и AC данного треугольника.

1. Так как BK — медиана, точка K — середина AC. Поэтому AC = 2 · KC = 2 · 8 = 16 см.

2. В треугольнике ACD точки K и M лежат на сторонах AC и CD, причём KM ∥ AD. По обратной теореме Фалеса из KC/CA = CM/CD следует, что KC = KA и CM = MD; следовательно, M — середина CD.

3. Так как AD — медиана треугольника ABC, D — середина BC. Значит, CD = DB, а поскольку M — середина CD, CM = MD = 5 см. Тогда BC = 2 · CD = 2 · 10 = 20 см.

Ответ: BC = 20 см, AC = 16 см.