1. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) MK; б) PE : NK; в) S_MEP : S_MKN.

а) Поскольку PE || NK, треугольники MEP и MNK подобны по двум углам (угол M общий, углы MEP и MNK равны как соответственные при параллельных прямых PE и NK).
Из подобия треугольников следует пропорция:
\(\frac{ME}{MN} = \frac{MP}{MK}\).
Подставляем известные значения:
\(\frac{6}{12} = \frac{8}{MK}\).
Отсюда, \(MK = \frac{8 \cdot 12}{6} = 16\).
б) Из подобия треугольников MEP и MNK также имеем:
\(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).
Следовательно, \(PE : NK = 1:2\).
в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен \(\frac{ME}{MN} = \frac{1}{2}\), значит, отношение площадей равно:
\(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
Следовательно, \(S_{MEP} : S_{MKN} = 1:4\).

Ответ: а) MK = 16; б) PE:NK = 1:2; в) S_MEP:S_MKN = 1:4.