4*. В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в точке O, S_AOD = 32 см², S_BOC = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Обозначим основания трапеции как \(AD=a\) и \(BC=b\). Известно, что площадь треугольников \(AOD\) и \(BOC\) равна \(S_{AOD} = 32\) см^2 и \(S_{BOC}=8\) см^2. Также известно, что \(AD\) или \(BC\) равны 10 см.
Треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны, так как углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) вертикальные, а \(\angle OAD\) и \(\angle OCB\) накрест лежащие при параллельных прямых. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
\(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \left( \frac{AD}{BC} \right)^2\)
\(\frac{32}{8} = \left( \frac{a}{b} \right)^2\)
\(4 = \left( \frac{a}{b} \right)^2\)
\(\frac{a}{b} = \sqrt{4} = 2\), отсюда \(a = 2b\).

Большее основание равно 10 см. Если предположить что \(a = AD = 10\), то \(10 = 2b\), следовательно \(b = BC = 5\). Если предположить что \(b = BC = 10\), то \(a=20\), что не удовлетворяет условию, так как \(a\) должно быть меньше 10, т.к. \(BC\) меньшее основание. Значит, \(BC=5\) см.

Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см.