1. Дано: ΔPQR, a = b = c = d. 1) Докажите, что ∠PQR = 90°. 2) Найдите значение l, при a = 1.

1) По условию PQ = PS = QS, поэтому треугольник PQS равносторонний и ∠PQS = 60°. Точки P, S, R лежат на одной прямой, значит ∠QSR = 180° − 60° = 120°. Кроме того, QS = SR, поэтому треугольник QSR равнобедренный, а его углы при основании равны: ∠SQR = (180° − 120°) / 2 = 30°. Следовательно, ∠PQR = ∠PQS + ∠SQR = 60° + 30° = 90°.

2) При a = 1 имеем PQ = PS = SR = 1, поэтому PR = PS + SR = 2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике PQR: QR² = PR² − PQ² = 2² − 1² = 3. Так как l = QR > 0, то l = √3.

Ответ: ∠PQR = 90°; l = √3.