1. Дано: SA - высота пирамиды. Треугольник ABC - основание, AB=13, BC=10, AC=?. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Находим AC: Так как треугольник ABC является основанием пирамиды, то AC = 10 (по условию задачи BC = 10).
2. Площадь основания: Для нахождения площади основания S_осн используем формулу Герона. Полупериметр p = (10 + 10 + 13) / 2 = 16,5. S_осн = sqrt(16.5 * (16.5 - 10) * (16.5 - 10) * (16.5 - 13)) = sqrt(16.5 * 6.5 * 6.5 * 3.5) = sqrt(2465.4375) ≈ 49.65.
3. Площадь боковой поверхности: Так как SA - высота, то SA перпендикулярно основанию. Требуется найти площади треугольников SAB, SAC, SBC.
4. Площадь SAB: AB = 13, SA = 9. S_SAB = 1/2 * AB * SA = 1/2 * 13 * 9 = 58.5.
5. Площадь SAC: AC = 10, SA = 9. S_SAC = 1/2 * AC * SA = 1/2 * 10 * 9 = 45.
6. Площадь SBC: BC = 10. Чтобы найти площадь, нужно найти высоту к стороне BC. Рассмотрим треугольник SAC. SC = sqrt(SA² + AC²) = sqrt(9² + 10²) = sqrt(81 + 100) = sqrt(181). Рассмотрим треугольник SAB. SB = sqrt(SA² + AB²) = sqrt(9² + 13²) = sqrt(81 + 169) = sqrt(250). В треугольнике SBC стороны равны 10, sqrt(181), sqrt(250). Используем формулу Герона для S_SBC. Полупериметр p = (10 + sqrt(181) + sqrt(250)) / 2 ≈ (10 + 13.45 + 15.81) / 2 = 19.63. S_SBC = sqrt(19.63 * (19.63 - 10) * (19.63 - 13.45) * (19.63 - 15.81)) = sqrt(19.63 * 9.63 * 6.18 * 3.82) = sqrt(4465.7) ≈ 66.83.
7. Площадь боковой поверхности: S_бок = S_SAB + S_SAC + S_SBC = 58.5 + 45 + 66.83 = 170.33.
8. Площадь полной поверхности: S_полн = S_осн + S_бок = 49.65 + 170.33 = 219.98.

Ответ: Приблизительно 220