1. Даны стороны прямоугольного треугольника 12 и неизвестная сторона. Угол равен 45 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник с одним из катетов равным \( 12 \) и углом \( 45^\circ \). Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), а один угол прямой \( 90^\circ \) и второй угол \( 45^\circ \), то третий угол равен \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Это означает, что треугольник является равнобедренным, и второй катет также равен \( 12 \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

Подставляем значения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 144 = 72 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 72.