1. Даны точки A(−2; 0), B(2; 2), C(4; −2), D(0; −4). а) Найдите координаты и длину вектора \(\vec a=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{CA}\). б) Разложите вектор \(\vec a\) по координатным векторам \(\vec i\) и \(\vec j\).

а) Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=(2-(-2);\,2-0)=(4;2)\), \(\overrightarrow{AD}=(0-(-2);\,-4-0)=(2;-4)\), \(\overrightarrow{CA}=(-2-4;\,0-(-2))=(-6;2)\).

Подставим их в выражение:

\(\vec a=(4;2)+3(2;-4)-\frac12(-6;2)=(4;2)+(6;-12)+(3;-1)=(13;-11)\).

Длина вектора: \(|\vec a|=\sqrt{13^2+(-11)^2}=\sqrt{290}\).

б) Координаты вектора являются коэффициентами при координатных векторах, поэтому \(\vec a=13\vec i-11\vec j\).

Ответ: а) \(\vec a=(13;-11)\), \(|\vec a|=\sqrt{290}\); б) \(\vec a=13\vec i-11\vec j\).