№ 1. Даны точки A(-2;4), B(4;-2), C(-8;-14), D(6;8). Найти: а) координаты векторов AB, CD; б) длину вектора BC; в) координаты точки M — середины AB; координаты точки N — середины CD; г) MN; AD; д) уравнение окружности с диаметром BC; е) уравнение прямой BD.

а) Координаты векторов.

Координаты вектора находим как разность координат его конца и начала:

\(\overrightarrow{AB}=(4-(-2);\,-2-4)=(6;-6)\).

\(\overrightarrow{CD}=(6-(-8);\,8-(-14))=(14;22)\).

б) Длина вектора BC.

\(\overrightarrow{BC}=(-8-4;\,-14-(-2))=(-12;-12)\).

\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-12)^2+(-12)^2}=\sqrt{288}=12\sqrt{2}\).

в) Координаты середин отрезков.

По формуле середины отрезка:

\(M\left(\frac{-2+4}{2};\frac{4+(-2)}{2}\right)=(1;1)\).

\(N\left(\frac{-8+6}{2};\frac{-14+8}{2}\right)=(-1;-3)\).

г) Координаты векторов MN и AD.

\(\overrightarrow{MN}=(-1-1;\,-3-1)=(-2;-4)\).

\(\overrightarrow{AD}=(6-(-2);\,8-4)=(8;4)\).

д) Уравнение окружности с диаметром BC.

Центр окружности — середина BC: \(O\left(\frac{4+(-8)}{2};\frac{-2+(-14)}{2}\right)=(-2;-8)\). Радиус равен половине длины BC, поэтому \(r^2=(12\sqrt{2}/2)^2=72\).

Подставляем центр и квадрат радиуса в уравнение окружности:

\((x+2)^2+(y+8)^2=72\).

е) Уравнение прямой BD.

Угловой коэффициент прямой через B и D: \(\frac{8-(-2)}{6-4}=5\). Используем точку B(4;−2):

\(y+2=5(x-4)\), откуда \(y=5x-22\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{AB}=(6;-6)\), \(\overrightarrow{CD}=(14;22)\); б) \(12\sqrt{2}\); в) \(M(1;1)\), \(N(-1;-3)\); г) \(\overrightarrow{MN}=(-2;-4)\), \(\overrightarrow{AD}=(8;4)\); д) \((x+2)^2+(y+8)^2=72\); е) \(y=5x-22\).