№ 1. Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов AB и AC; 2) модули векторов AB и AC; 3) координаты вектора MK = 2AB − 3AC; 4) скалярное произведение векторов AB и AC; 5) косинус угла между векторами AB и AC.

1. Координаты вектора равны разностям координат его конца и начала:

   \(\overrightarrow{AB}=(1-(-3);\,-2-1)=(4;\,-3)\),

   \(\overrightarrow{AC}=(-1-(-3);\,0-1)=(2;\,-1)\).

2. Модуль вектора \((x;y)\) равен \(\sqrt{x^2+y^2}\):

   \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5\),

   \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\).

3. Выполним действия покоординатно:

   \(\overrightarrow{MK}=2(4;-3)-3(2;-1)=(8;-6)-(6;-3)=(2;-3)\).

4. Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot2+(-3)\cdot(-1)=11\).

5. Используем формулу косинуса угла между векторами:

   \(\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{11}{5\sqrt{5}}=\dfrac{11\sqrt{5}}{25}\).

Ответ: 1) \((4;-3)\), \((2;-1)\); 2) \(5\), \(\sqrt{5}\); 3) \((2;-3)\); 4) \(11\); 5) \(\dfrac{11\sqrt{5}}{25}\).