№ 3. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM:MC = 2:5, CP:PD = 3:1. Выразите вектор MP через векторы AB = a и AD = b.

Пусть \(A\) — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf b\), а для параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=\mathbf a+\mathbf b\).

Так как \(BM:MC=2:5\), точка \(M\) делит сторону \(BC\) в отношении 2 к 5 от вершины \(B\):

\(\overrightarrow{AM}=\mathbf a+\dfrac{2}{7}\mathbf b\).

Так как \(CP:PD=3:1\), точка \(P\) находится на расстоянии \(\dfrac{3}{4}\) стороны от \(C\) к \(D\). Поскольку \(\overrightarrow{CD}=-\mathbf a\),

\(\overrightarrow{AP}=\mathbf a+\mathbf b+\dfrac{3}{4}(-\mathbf a)=\dfrac{1}{4}\mathbf a+\mathbf b\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{1}{4}-1\right)\mathbf a+\left(1-\dfrac{2}{7}\right)\mathbf b=-\dfrac{3}{4}\mathbf a+\dfrac{5}{7}\mathbf b\).

Ответ: \(\overrightarrow{MP}=-\dfrac{3}{4}\mathbf a+\dfrac{5}{7}\mathbf b\).