1. Даны точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1). Найдите: 1) координаты векторов BA и BC; 2) модули векторов BA и BC; 3) координаты вектора MP = 4BA − BC; 4) скалярное произведение векторов BA и BC; 5) косинус угла между векторами BA и BC.

Question

Вопрос:

Фото задания: 1. Даны точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1). Найдите: 1) координаты векторов BA и BC; 2) модули векторов BA и BC; 3)…

1. Даны точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1). Найдите: 1) координаты векторов BA и BC; 2) модули векторов BA и BC; 3) координаты вектора MP = 4BA − BC; 4) скалярное произведение векторов BA и BC; 5) косинус угла между векторами BA и BC.

Accepted Answer

Координаты вектора находятся вычитанием координат его начала из координат конца:
\(\overrightarrow{BA}=(3-1;\,-2-(-1))=(2;\,-1)\).
\(\overrightarrow{BC}=(-1-1;\,1-(-1))=(-2;\,2)\).
Модуль вектора \((x;y)\) равен \(\sqrt{x^2+y^2}\):
\(|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\).
\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
Выполняем действия с координатами векторов:
\(\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=4(2;\,-1)-(-2;\,2)=(8;\,-4)-(-2;\,2)=(10;\,-6)\).
Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=2\cdot(-2)+(-1)\cdot2=-6\).
Используем формулу скалярного произведения:
\(\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|}=\dfrac{-6}{\sqrt{5}\cdot2\sqrt{2}}=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{BA}=(2;\,-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(-2;\,2)\); 2) \(\sqrt{5}\), \(2\sqrt{2}\); 3) \(\overrightarrow{MP}=(10;\,-6)\); 4) \(-6\); 5) \(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\).