1. Даны точки A(-3; 3), B(3; 3), C(5; -3) и D(-1; -3). а) Найдите координаты и длину вектора \(\vec a=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BD}-\frac12\overrightarrow{CD}\). б) Разложите вектор \(\vec a\) по координатным векторам \(\vec i,\vec j\).

а) Найдём координаты векторов:

\(\overrightarrow{AB}=(3-(-3);\,3-3)=(6;0)\), \(\overrightarrow{BD}=(-1-3;\,-3-3)=(-4;-6)\), \(\overrightarrow{CD}=(-1-5;\,-3-(-3))=(-6;0)\).

Подставим их в выражение:

\(\vec a=(6;0)+3(-4;-6)-\frac12(-6;0)=(6;0)+(-12;-18)+(3;0)=(-3;-18)\).

Длина вектора:

\(|\vec a|=\sqrt{(-3)^2+(-18)^2}=\sqrt{333}=3\sqrt{37}\).

б) По координатным векторам:

\(\vec a=-3\vec i-18\vec j\).

Ответ: \(\vec a=(-3;-18)\), \(|\vec a|=3\sqrt{37}\), \(\vec a=-3\vec i-18\vec j\).