1. Даны точки K(−1; 3), P(4; 4), M(−2; −4). Найти: 1) координаты векторов MK и PM; 2) модули векторов MK и PM; 3) координаты вектора EF = 2MK − 3PM; 4) скалярное произведение векторов MK и PM; 5) косинус угла между векторами MK и PM.

1. Координаты вектора находим вычитанием координат его начала из координат конца:

   \(\overrightarrow{MK}=(−1−(−2);\ 3−(−4))=(1;7)\).

   \(\overrightarrow{PM}=(−2−4;\ −4−4)=(−6;−8)\).

2. Модуль вектора с координатами \((x;y)\) равен \(\sqrt{x^2+y^2}\):

   \(|\overrightarrow{MK}|=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\).

   \(|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{(−6)^2+(−8)^2}=\sqrt{100}=10\).

3. Вычисляем выражение по координатам векторов:

   \(\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{MK}−3\overrightarrow{PM}=(2;14)−(−18;−24)=(20;38)\).

4. Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   \(\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{PM}=1\cdot(−6)+7\cdot(−8)=−62\).

5. Используем формулу \(\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\):

   \(\cos\alpha=\dfrac{−62}{(5\sqrt2)\cdot10}=−\dfrac{31\sqrt2}{50}\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=(1;7)\), \(\overrightarrow{PM}=(−6;−8)\); их модули — \(5\sqrt2\) и \(10\); \(\overrightarrow{EF}=(20;38)\); скалярное произведение равно \(−62\), косинус угла — \(−\dfrac{31\sqrt2}{50}\).