1) Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник, описанного около окружности. Назовите свойство описанного четырехугольника. 2) Сформулируйте и докажите свойства диагоналей ромба. 3) Площадь параллелограмма АBCD равна 60. Точка Е середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC. 4) Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и В соответственно. Отрезки АЕ И СК перпендикулярны. Найдите / КСВ, если / АBC=20°.

1. Окружности, вписанные и описанные

Вписанная окружность – это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Многоугольник называется описанным около этой окружности.

Описанная окружность – это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Свойство описанного четырехугольника: Сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равна.

2. Свойства диагоналей ромба

Диагонали ромба обладают следующими свойствами:

• Пересекаются под прямым углом.
• Делятся точкой пересечения пополам.
• Являются биссектрисами его углов.

3. Площадь трапеции DAEC

Дано: ABCD – параллелограмм, S_ABCD = 60, E – середина AB.

Найти: S_DAEC

Решение:

1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. S_ABCD = AB · h = 60.
2. Трапеция DAEC имеет основания AD и EC. Высота трапеции равна высоте параллелограмма, h.
3. S_DAEC = (AD + EC) · h / 2.
4. Выразим EC. Треугольник EBC – прямоугольный.
5. Чтобы найти площадь трапеции, нам нужно знать длины сторон или высоту. В условии недостаточно данных для решения этой задачи.

4. Угол КСВ

Дано: Окружность проходит через A, C. K ∈ AB, E ∈ BC. AE ⊥ BC, CK ⊥ AE. ∠ABC = 20°.

Найти: ∠КСВ

Решение:

1. Рассмотрим четырехугольник AKCE. Углы ∠AKE = ∠ACE = 90°.
2. Сумма углов четырехугольника равна 360°. ∠KCE + ∠CAE + ∠AEC + ∠EKC = 360°.
3. Так как окружность проходит через A и C, то ∠ABC вписанный.
4. В данной задаче не хватает данных для решения.