1) Сформулируйте теоремы об углах между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими. 2) Сформулируйте и докажите свойство углов при основании равнобедренной трапеции. 3) Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника. 4) Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает его сторону ВС в точке Е. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE=7, EC=3, ∠ABC-150°.

1. Теоремы об углах

Теорема об угле между касательной и хордой: Величина угла, образованного касательной и хордой, проведенной из точки касания, равна половине величины дуги, заключенной между этими прямыми.

Теорема о пересекающихся хордах: Величина угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна полусумме величин дуг, заключенных между его сторонами.

Теорема о пересекающихся секущих: Величина угла, образованного двумя секущими, проведенными из одной точки, равна полуразности величин дуг, заключенных между его сторонами.

2. Свойство углов при основании равнобедренной трапеции

Теорема: Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

Доказательство:

1. Пусть ABCD – равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, где AB = CD.
2. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD.
3. Проведем высоту CK из вершины C на основание AD.
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔABH и ΔDCK.
5. AB = CD (по условию).
6. BH = CK (как высоты трапеции).
7. Следовательно, ΔABH = ΔDCK по гипотенузе и катету.
8. Из равенства треугольников следует, что ∠BAH = ∠CDK.
9. Так как AD || BC, то ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠BCD + ∠ADC = 180°.
10. Углы при каждом основании равны: ∠BAD = ∠CDA, ∠ABC = ∠DCB.

3. Медиана равностороннего треугольника

Дано: ΔABC – равносторонний, AB = BC = AC = 16√3.

Найти: медиану (например, AM).

Решение:

1. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAMB.
3. AM ⊥ BC, следовательно ∠AMB = 90°.
4. BM = MC = BC/2 = 16√3 / 2 = 8√3.
5. По теореме Пифагора: AB² = AM² + BM².
6. \( (16\sqrt{3})^2 = AM^2 + (8\sqrt{3})^2 \)
7. \( 256 \cdot 3 = AM^2 + 64 \cdot 3 \)
8. \( 768 = AM^2 + 192 \)
9. \( AM^2 = 768 - 192 = 576 \)
10. \( AM = \sqrt{576} = 24 \)

Ответ: 24.

4. Площадь параллелограмма ABCD

Дано: ABCD – параллелограмм, AK – биссектриса ∠A, E ∈ BC, BE=7, EC=3, ∠ABC = 150°.

Найти: S_ABCD

Решение:

1. BC = BE + EC = 7 + 3 = 10.
2. Так как ABCD – параллелограмм, то AD = BC = 10.
3. AK – биссектриса ∠A. Следовательно, ∠BAK = ∠DAK.
4. Так как AB || DC, то ∠DAK = ∠AKB (накрест лежащие).
5. Значит, ∠BAK = ∠AKB. Это означает, что ΔABK – равнобедренный. AB = BK.
6. Так как E лежит на BC, то BK = BE = 7.
7. Следовательно, AB = 7.
8. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними:
9. S_ABCD = AB · BC · sin(∠ABC)
10. \( S_{ABCD} = 7 \cdot 10 \cdot \sin(150^{\circ}) \)
11. \( \sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ}-30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \)
12. \( S_{ABCD} = 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 35 \)

Ответ: 35.