1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с его сторонами углы 65° и 50°.

В треугольнике ABD углы при вершине B составляют \( 65° + 50° = 115° \).

Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол \( \angle BAD = 180° - (\angle ABD + \angle BDA) \).

Рассмотрим углы, которые образует диагональ BD со сторонами:

• \( \angle ABD = 65° \)
• \( \angle ADB = 50° \)

Угол параллелограмма \( \angle A \) равен \( \angle BAD \).

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Угол \( \angle B \) параллелограмма равен \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).

Так как ABCD — параллелограмм, то \( \angle ADB = \angle DBC = 50° \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD).

Следовательно, \( \angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 65° + 50° = 115° \).

Угол \( \angle A \) параллелограмма равен \( \angle ADC \).

В треугольнике ABD: \( \angle BAD = 180° - (\angle ABD + \angle ADB) = 180° - (65° + 50°) = 180° - 115° = 65° \).

Углы параллелограмма равны \( 65° \) и \( 115° \).

Меньший угол параллелограмма равен \( 65° \).

Ответ: 65°.