1. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что BC = 16 см, угол AKB равен 120°. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника ABCD.

Обозначим половины сторон прямоугольника через a и b, где 2b = BC = 16 см, поэтому b = 8 см. Пусть A и B — соседние вершины прямоугольника.

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Из координатного соотношения для угла между векторами KA и KB получаем:

\(\cos 120^\circ = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=-\frac12\).

Отсюда \(2a^2-2b^2=-a^2-b^2\), значит \(3a^2=b^2\). Следовательно, \(a=\frac{8}{\sqrt3}\) см.

Четырёхугольник, соединяющий середины сторон прямоугольника, — ромб. Его сторона равна половине диагонали исходного прямоугольника, поэтому его периметр равен удвоенной длине диагонали:

\(P=4\sqrt{a^2+b^2}=4\sqrt{\frac{64}{3}+64}=\frac{64\sqrt3}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{64\sqrt3}{3}\) см.