1. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, ∠АВО = 36°. Найдите угол АОД.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому ОА = ОД. Треугольник АОД равнобедренный.

Так как ∠АВО = 36°, а угол АВС прямой, то ∠ОВС = 90° − 36° = 54°. Диагонали прямоугольника образуют с параллельными сторонами равные соответствующие углы, поэтому ∠ОАD = ∠ОDА = 36°.

Тогда ∠АОД = 180° − 36° − 36° = 108°? Это неверно для указанного угла: в треугольнике АОД основания — стороны АД и? Проверим через равнобедренность: угол между диагоналями при O зависит от наклона диагонали. ∠АВО — угол между BA и BO; луч BA направлен влево, BO — по диагонали вниз-влево. Его величина 36°. В треугольнике AOD углы при A и D равны 54° (диагональ образует с вертикальной стороной угол 90°−36°). Следовательно, ∠АОД = 180° − 54° − 54° = 72°.

Ответ: 72°.