1. Доказать теорему о вычислении площади трапеции. 2. Вписанный угол. Следствия, вытекающие из теоремы о вписанном угле. 3. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла ОАВ. A 0 B C 30° 4. Периметр треугольника равен 40см, две его стороны равны 15см и 9см. Найти отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.

Билет №8

1. Теорема о площади трапеции: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{a + b}{2} \times h$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.
2. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Следствия теоремы о вписанном угле:
   
   • Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
   • Угол, опирающийся на диаметр, прямой (равен 90°).
   • Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Решение:
   

   Так как AD и BC — диаметры, проходящие через центр O, то треугольник OCD — равнобедренный (OC = OD — радиусы). Следовательно, ∠ ODC = ∠ OCD = 30°.

   Угол ODC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — это ∠ AOC.

   ∠ AOC = 2 * ∠ ODC = 2 * 30° = 60°.

   Теперь рассмотрим треугольник AOB. OA и OB — радиусы, поэтому треугольник AOB — равнобедренный. Угол AOB является вертикальным к углу COD. Угол COD = 180° - ∠ OCD - ∠ ODC = 180° - 30° - 30° = 120° (неверно, т.к. OCD и ODC не составляют угол COD. Угол COD = 180 - ∠ AOC = 180 - 60 = 120. АОВ = COD = 120.).

   Исправление: Угол AOB = Угол COD. Найдем Угол COD. Угол BOC — развернутый (180°). Угол COD = 180° - Угол BOC = 180° - 180° = 0 (неверно, AD и BC - диаметры, пересекающиеся в O). Угол BOC = 180°. Угол COD = 180 - ∠ AOC = 180 - 60 = 120° (это если A,O,D лежат на одной прямой, а B,O,C лежат на другой, и они перпендикулярны). AD и BC - диаметры. Угол OCD = 30°. Треугольник OCD равнобедренный (OC=OD=R), значит ∠ ODC = 30°. Угол COD = 180 - (30+30) = 120°. Угол AOB = Угол COD (как вертикальные) = 120°. Треугольник AOB равнобедренный (OA=OB=R), значит ∠ OAB = ∠ OBA = (180 - 120) / 2 = 60 / 2 = 30°.

4. Решение:
   

   Периметр треугольника P = 40 см. Стороны $$a = 15$$ см, $$b = 9$$ см. Третья сторона $$c = P - a - b = 40 - 15 - 9 = 16$$ см.

   По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть $$x$$ и $$y$$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $$c$$. Тогда:

   $$\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$$

   $$x + y = c = 16$$

   Подставим значения $$a = 15$$ и $$b = 9$$:

   $$\frac{x}{y} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$$

   $$3x = 5y$$

   Из $$x + y = 16$$ выразим $$y = 16 - x$$. Подставим в уравнение:

   $$3x = 5(16 - x)$$
   $$3x = 80 - 5x$$
   $$8x = 80$$
   $$x = 10$$ см.

   Тогда $$y = 16 - x = 16 - 10 = 6$$ см.

Ответ: ∠ OAB = 30°, Отрезки: 10 см и 6 см