1. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(2;3;2), B(0;2;4), C(4;1;0), D(6;2;-2) является параллелограммом.

Решение:

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, докажем, что его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Найдем координаты середины диагонали AC:

\( M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + 4}{2}; \frac{3 + 1}{2}; \frac{2 + 0}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}; \frac{4}{2}; \frac{2}{2} \right) = (3; 2; 1) \)

Найдем координаты середины диагонали BD:

\( M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2}; \frac{z_B + z_D}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}; \frac{2 + 2}{2}; \frac{4 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}; \frac{4}{2}; \frac{2}{2} \right) = (3; 2; 1) \)

Так как середины диагоналей AC и BD совпадают \( M_{AC} = M_{BD} = (3; 2; 1) \), то диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Доказано.