3. Пример. Задача Докажите, что четырехугольник ABCDс вершинами в точках A(1;3;2), B(0;2;4), C(1;1;4), D(2;2;2) является параллелограммом. Решение. 1. У параллелограмма противоположные стороны равны. Найдем длины отрезков АВ, CD и BC, AD

Решение:

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, найдем длины противоположных сторон AB и CD, а также BC и AD. Если длины противоположных сторон равны, то четырехугольник — параллелограмм.

Длина отрезка AB:

\( |AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \)

\( |AB| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)

Длина отрезка CD:

\( |CD| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2} \)

\( |CD| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)

Длина отрезка BC:

\( |BC| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} \)

\( |BC| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 2)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \)

Длина отрезка AD:

\( |AD| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 + (z_D - z_A)^2} \)

\( |AD| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \)

Так как \( |AB| = |CD| = \sqrt{6} \) и \( |BC| = |AD| = \sqrt{2} \), то противоположные стороны четырехугольника ABCD равны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Доказано.