3. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(2;1;3), B(1;0;7), C(-2;1;5), D(-1;2;1) является параллелограммом.

Решение:

Докажем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, найдя середины его диагоналей AC и BD.

Координаты середины диагонали AC:

\( M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{2 + (-2)}{2}; \frac{1 + 1}{2}; \frac{3 + 5}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}; \frac{2}{2}; \frac{8}{2} \right) = (0; 1; 4) \)

Координаты середины диагонали BD:

\( M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}; \frac{y_B + y_D}{2}; \frac{z_B + z_D}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-1)}{2}; \frac{0 + 2}{2}; \frac{7 + 1}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}; \frac{2}{2}; \frac{8}{2} \right) = (0; 1; 4) \)

Так как середины диагоналей AC и BD совпадают \( M_{AC} = M_{BD} = (0; 1; 4) \), то диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Доказано.