1. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Рассмотрим параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf a\), а точку A примем за начало координат.

Тогда координаты вершин можно записать так: \(A=0\), \(B=\mathbf b\), \(D=\mathbf d\), \(C_1=\mathbf a+\mathbf b+\mathbf d\), \(D_1=\mathbf a+\mathbf d\).

Середина диагонали \(AC_1\):

\[M=\frac{A+C_1}{2}=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf d}{2}.\]

Середина диагонали \(BD_1\):

\[M=\frac{B+D_1}{2}=\frac{\mathbf b+(\mathbf a+\mathbf d)}{2}=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf d}{2}.\]

Следовательно, диагонали \(AC_1\) и \(BD_1\) пересекаются в одной точке M и делятся ею пополам. Аналогично показывается, что диагонали \(A_1C\) и \(B_1D\) проходят через ту же точку M и также делятся ею пополам.

Ответ: все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, являющейся серединой каждой диагонали.