1. Докажите, что плоскость, проведённая через середины рёбер AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, параллельна плоскости ABD.

Обозначим середины рёбер AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ соответственно M, N, K и L.

Четырёхугольник ABB₁A₁ — квадрат. В нём M и N — середины противоположных сторон AA₁ и BB₁, поэтому MN ∥ AB. Аналогично, четырёхугольник ADD₁A₁ — квадрат, и ML ∥ AD.

Прямые MN и ML пересекаются и лежат в плоскости MNKL. Они соответственно параллельны пересекающимся прямым AB и AD плоскости ABD. Следовательно, плоскости MNKL и ABD параллельны.