1. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

1. В параллелепипеде соответствующие рёбра параллельны и равны: AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁, а также соответствующие рёбра оснований попарно параллельны и равны.
2. Параллельный перенос на вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) переводит вершины A, B, C, D соответственно в вершины A₁, B₁, C₁, D₁.
3. Следовательно, грань ABCD переводится в грань A₁B₁C₁D₁. При параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость, а все расстояния и углы сохраняются.

Значит, противоположные грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях и являются равными.

Аналогично доказывается равенство и параллельность каждой другой пары противоположных граней:

ABCD ∥ A₁B₁C₁D₁, ABB₁A₁ ∥ DCC₁D₁, ADD₁A₁ ∥ BCC₁B₁.

Ответ: противоположные грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.