1. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим третью сторону через \(c\). По теореме косинусов:

\(c^2=4^2+8^2-2\cdot4\cdot8\cdot\cos60^\circ=16+64-32=48\), поэтому \(c=4\sqrt3\) см.

Площадь по формуле через две стороны и угол между ними:

\(S=\frac12\cdot4\cdot8\cdot\sin60^\circ=16\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\) см².

Ответ: третья сторона — \(4\sqrt3\) см, площадь — \(8\sqrt3\) см².