1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4 см, а угол между ними — 45°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Обозначим угол между сторонами 6 см и 4 см через \(45^\circ\).

По теореме косинусов квадрат третьей стороны равен

\[c^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cos45^\circ=52-24\sqrt2.\]

Значит, \(c=\sqrt{52-24\sqrt2}=2\sqrt{13-6\sqrt2}\approx4.24\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\[S=\frac12\cdot6\cdot4\sin45^\circ=6\sqrt2\approx8.49\text{ см}^2.\]

Ответ: третья сторона — \(2\sqrt{13-6\sqrt2}\) см (примерно 4,24 см); площадь — \(6\sqrt2\) см² (примерно 8,49 см²).