№1. Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, угол между ними — 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

По теореме косинусов найдём третью сторону:

\(c^2=8^2+(4\sqrt{3})^2-2\cdot8\cdot4\sqrt{3}\cdot\cos30^\circ=64+48-96=16\), поэтому \(c=4\) см.

Площадь вычислим по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12\cdot8\cdot4\sqrt{3}\cdot\sin30^\circ=8\sqrt{3}\) см².

Ответ: третья сторона — 4 см, площадь — \(8\sqrt{3}\) см².