1) E(4;12), F(−4;−10), G(−2;6), H(4;−2). Найти: а) координаты векторов EF, GH; б) длину вектора FG; в) координаты точки O — середины EF, координаты точки W — середины GH; г) уравнение окружности с диаметром FG; д) уравнение прямой FH.

а) Координаты векторов

Координаты вектора равны разностям координат его конца и начала:

\(\overrightarrow{EF}=(−4−4;−10−12)=(−8;−22)\).

\(\overrightarrow{GH}=(4−(−2);−2−6)=(6;−8)\).

б) Длина вектора FG

\(\overrightarrow{FG}=(−2−(−4);6−(−10))=(2;16)\).

\(|\overrightarrow{FG}|=\sqrt{2^2+16^2}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}\).

в) Координаты середин отрезков

\(O\) — середина \(EF\): \(O\left(\frac{4+(−4)}2;\frac{12+(−10)}2\right)=(0;1)\).

\(W\) — середина \(GH\): \(W\left(\frac{−2+4}2;\frac{6+(−2)}2\right)=(1;2)\).

г) Уравнение окружности с диаметром FG

Центр окружности — середина диаметра \(FG\): \(C\left(\frac{−4+(−2)}2;\frac{−10+6}2\right)=(−3;−2)\). Радиус равен половине длины диаметра: \(r=\sqrt{65}\).

Уравнение окружности: \((x+3)^2+(y+2)^2=65\).

д) Уравнение прямой FH

Угловой коэффициент: \(k=\frac{−2−(−10)}{4−(−4)}=1\). Подставим точку \(F(−4;−10)\) в уравнение \(y=kx+b\): \(−10=−4+b\), поэтому \(b=−6\).

Уравнение прямой: \(y=x−6\).

Ответ: а) \(\overrightarrow{EF}=(−8;−22)\), \(\overrightarrow{GH}=(6;−8)\); б) \(|\overrightarrow{FG}|=2\sqrt{65}\); в) \(O(0;1)\), \(W(1;2)\); г) \((x+3)^2+(y+2)^2=65\); д) \(y=x−6\).