1) Если диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения диагоналей. 2) Если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник является прямоугольником. 3) Если два подобных треугольника имеют равные площади, то эти треугольники равны. 4) Если у вписанного в окружность четырёхугольника два противоположных угла равны, то этот четырёхугольник является прямоугольником. 5) Срединные перпендикуляры к трём сторонам выпуклого четырёхугольника пересекаются в одной точке. Тогда около этого четырёхугольника можно описать окружность.

1. Верно. Площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали вычисляется по формуле \(S=\frac12 d_1d_2\sin\alpha\). При перпендикулярных диагоналях \(\alpha=90^\circ\), поэтому \(S=\frac12 d_1d_2\).
2. Неверно. Равенство диагоналей не означает, что четырёхугольник является прямоугольником: например, равнобедренная трапеция может иметь равные диагонали.
3. Верно. У подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. Если площади равны, коэффициент подобия равен 1, следовательно, треугольники равны.
4. Верно. Вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов \(180^\circ\). Если эти углы равны, каждый из них равен \(90^\circ\), поэтому четырёхугольник является прямоугольником.
5. Верно. Точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам \(AB\), \(BC\), \(CD\) равноудалена от точек \(A,B,C,D\). Значит, все четыре вершины лежат на окружности с центром в этой точке.

Ответ: верны утверждения 1, 3, 4, 5; утверждение 2 неверно.