5. Две окружности пересекаются в A и B; AC и AD — их диаметры. Если BC = 5, BD = 3, найдите все возможные расстояния между центрами окружностей.

Так как AC и AD — диаметры, по теореме Фалеса:

• \(\angle ABC=90^\circ\);
• \(\angle ABD=90^\circ\).

Следовательно, точки C и D лежат на прямой, перпендикулярной AB и проходящей через B. Поэтому возможны два случая:

1. Точки C и D находятся по одну сторону от B:
   \[CD=|BC-BD|=|5-3|=2.\]
2. Точки C и D находятся по разные стороны от B:
   \[CD=BC+BD=5+3=8.\]

Центр окружности с диаметром AC — середина AC, а центр окружности с диаметром AD — середина AD. Отрезок, соединяющий центры, является средней линией треугольника ACD, поэтому равен половине CD:

\[OO'=\frac{CD}{2}.\]

Получаем:

\[OO'=1\quad\text{или}\quad OO'=4.\]

Ответ: 1 или 4.