1. Формулы объема цилиндра, конуса 2. Исследование функции по схеме. 3. Примеры: 1) Вычислите lim x+3 x→4 x²-4 lim 2x²+6x+5 x→∞ x²-25

1. Формулы объема цилиндра и конуса:

Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.

2. Исследование функции по схеме:

Исследование функции обычно включает следующие шаги:
1. Область определения функции.
2. Четность/нечетность функции.
3. Периодичность функции.
4. Точки пересечения с осями координат (нули функции и значение \( f(0) \)).
5. Промежутки знакопостоянства (где \( f(x) > 0 \) и \( f(x) < 0 \)).
6. Интервалы возрастания и убывания (экстремумы).
7. Промежутки выпуклости и вогнутости (точки перегиба).
8. Асимптоты (вертикальные, горизонтальные, наклонные).

3. Примеры вычислений пределов:

1) Вычислите:

\( \lim_{x\to 4} \frac{x+3}{x^2-4} \)

Подставим \( x=4 \):

\( \frac{4+3}{4^2-4} = \frac{7}{16-4} = \frac{7}{12} \)

2) Вычислите:

\( \lim_{x\to \infty} \frac{2x^2+6x+5}{x^2-25} \)

Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \) (старшую степень \( x \) в знаменателе):

\( \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{6x}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{25}{x^2}} = \lim_{x\to \infty} \frac{2+\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{25}{x^2}} \)

При \( x \to \infty \), члены \( \frac{6}{x} \), \( \frac{5}{x^2} \), \( \frac{25}{x^2} \) стремятся к нулю:

\( \frac{2+0+0}{1-0} = \frac{2}{1} = 2 \)

Ответ: 1) \( \frac{7}{12} \); 2) 2.