4. Задача: Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Решение:

Сечение шара плоскостью является кругом. Чтобы найти площадь этого круга, нужно определить его радиус.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — радиус шара \( R = 41 \) дм.
• Один катет — расстояние от центра шара до плоскости \( d = 9 \) дм.
• Второй катет — радиус сечения (круга) \( r \).

По теореме Пифагора:

\( R^2 = d^2 + r^2 \)

\( 41^2 = 9^2 + r^2 \)

\( 1681 = 81 + r^2 \)

\( r^2 = 1681 - 81 \)

\( r^2 = 1600 \)

\( r = \sqrt{1600} = 40 \) дм.

Площадь сечения (круга) вычисляется по формуле:

\( S = \pi r^2 \)

\( S = \pi (40)^2 \)

\( S = 1600\pi \) дм².

Ответ: \( 1600\pi \) дм².