4. Задача: Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Решение:

Дано: Шар. Радиус шара \( R = 41 \) дм. Расстояние от центра шара до плоскости сечения \( d = 9 \) дм.

Найти: Площадь сечения \( S \).

Сечение шара плоскостью является кругом. Радиус \( r \) этого круга можно найти, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом шара \( R \) (гипотенуза), расстоянием от центра шара до плоскости \( d \) (один катет) и радиусом сечения \( r \) (другой катет), имеем:

\( R^2 = d^2 + r^2 \)

Найдем радиус сечения \( r \):

\( r^2 = R^2 - d^2 \)

\( r^2 = 41^2 - 9^2 \)

\( r^2 = 1681 - 81 \)

\( r^2 = 1600 \)

\( r = \sqrt{1600} = 40 \) дм.

Площадь сечения (круга) вычисляется по формуле:

\( S = \pi r^2 \)

Подставим найденное значение \( r^2 \):

\( S = \pi \times 1600 = 1600\pi \) кв. дм.

Ответ: Площадь сечения равна \( 1600\pi \) кв. дм.