1. \(\frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{x^2-9} = \frac{1}{6}\)

Решение:

Для начала найдем общий знаменатель, разложив \(x^2-9\) на множители: \((x-3)(x+3)\).

Теперь перепишем уравнение с общим знаменателем:

\[ \frac{x-2}{x+3} - \frac{30}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{6} \]

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \(6(x-3)(x+3)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 6(x-2)(x-3) - 6(30) = (x-3)(x+3) \]

Раскроем скобки:

\[ 6(x^2 - 3x - 2x + 6) - 180 = x^2 - 9 \]

\[ 6(x^2 - 5x + 6) - 180 = x^2 - 9 \]

\[ 6x^2 - 30x + 36 - 180 = x^2 - 9 \]

\[ 6x^2 - 30x - 144 = x^2 - 9 \]

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 6x^2 - x^2 - 30x - 144 + 9 = 0 \]

\[ 5x^2 - 30x - 135 = 0 \]

Разделим все члены на 5 для упрощения:

\[ x^2 - 6x - 27 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-27) = 36 + 108 = 144 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2(1)} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2(1)} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Проверим, не равны ли найденные корни знаменателю \(x+3\) или \(x-3\), которые равны нулю при \(x = -3\) и \(x = 3\) соответственно. Корень \(x = -3\) является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль.

Остается корень \(x=9\).

Ответ: 9