3. \(\frac{x-9}{x+1} - \frac{x+3}{1-x} = \frac{8}{x^2-1}\)

Решение:

Заметим, что \(1-x = -(x-1)\) и \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). Перепишем уравнение:

\[ \frac{x-9}{x+1} - \frac{x+3}{-(x-1)} = \frac{8}{(x-1)(x+1)} \]

\[ \frac{x-9}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{8}{(x-1)(x+1)} \]

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((x-1)(x+1)\):

\[ (x-9)(x-1) + (x+3)(x+1) = 8 \]

Раскроем скобки:

\[ (x^2 - x - 9x + 9) + (x^2 + x + 3x + 3) = 8 \]

\[ x^2 - 10x + 9 + x^2 + 4x + 3 = 8 \]

\[ 2x^2 - 6x + 12 = 8 \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ 2x^2 - 6x + 12 - 8 = 0 \]

\[ 2x^2 - 6x + 4 = 0 \]

Разделим все члены на 2:

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, произведение — 2. Это числа 1 и 2.

\[ x_1 = 1, x_2 = 2 \]

Проверим корни. При \(x=1\) знаменатели \(x+1\) и \(1-x\) становятся равными 2 и 0 соответственно. Значит, \(x=1\) — посторонний корень.

При \(x=2\), знаменатели \(x+1 = 3\), \(1-x = -1\), \(x^2-1 = 3\). Все знаменатели не равны нулю.

Ответ: 2