4. \(\frac{x+1}{x-2} + \frac{9}{(x-2)(x-5)} = \frac{x-2}{x-5}\)

Решение:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((x-2)(x-5)\):

\[ (x+1)(x-5) + 9 = (x-2)(x-2) \]

Раскроем скобки:

\[ (x^2 - 5x + x - 5) + 9 = x^2 - 4x + 4 \]

\[ x^2 - 4x - 5 + 9 = x^2 - 4x + 4 \]

\[ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 4x + 4 \]

Видим, что левая и правая части уравнения идентичны. Это означает, что данное равенство верно для всех значений \(x\), при которых знаменатели исходного уравнения не равны нулю. Знаменатели \(x-2\) и \(x-5\) равны нулю при \(x=2\) и \(x=5\) соответственно.

Следовательно, решением являются все действительные числа, кроме 2 и 5.

Ответ: x ∈ R \ {2, 5}