1. Геометрия На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем радиус окружности. Окружность с центром А проходит через точку С, значит, радиус (r) равен расстоянию АС.
   $$r = AC = 75$$.
2. Шаг 2: Рассматриваем прямоугольный треугольник, образованный центром окружности (А), точкой касания (обозначим её Т) и точкой В. Касательная (ВТ) перпендикулярна радиусу (АТ) в точке касания. Таким образом, $$\triangle АТВ$$ — прямоугольный с прямым углом в точке Т.
3. Шаг 3: Находим длину отрезка АВ. Точка С лежит на отрезке АВ, следовательно, $$AB = AC + CB$$.
   $$AB = 75 + 10 = 85$$.
4. Шаг 4: Применяем теорему Пифагора к $$\triangle АТВ$$ для нахождения длины касательной ВТ.
   $$AB^2 = AT^2 + BT^2$$
   $$85^2 = 75^2 + BT^2$$
   $$7225 = 5625 + BT^2$$
   $$BT^2 = 7225 - 5625$$
   $$BT^2 = 1600$$
   $$BT = \sqrt{1600}$$
   $$BT = 40$$.

Ответ: 40