4. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 3, AC = 27. Найдите АК.

Решение:

Для решения используем свойство секущей и касательной, проведенных из одной точки к окружности. Квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, отсекаемых окружностью: \( AK^2 = AB \cdot AC \).

Из условия дано:

• \( AB = 3 \)
• \( AC = 27 \)

Подставляем значения в формулу:

\[ AK^2 = 3 \cdot 27 = 81 \]

Находим \( AK \) как квадратный корень из 81:

\[ AK = \sqrt{81} = 9 \]

Ответ: 9.