1. I вариант: доказать тождество $\frac{ g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot\frac{\ctg^2\alpha-1}{\ctg\alpha}=1$ и указать допустимые значения $\alpha$. II вариант: доказать тождество $\frac{ g\alpha}{1+\ctg^2\alpha}+\frac{\ctg\alpha}{1+ g\alpha}= g\alpha+\ctg\alpha-1$ и указать допустимые значения $\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. I вариант: доказать тождество $\frac{ g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot\frac{\ctg^2\alpha-1}{\ctg\alpha}=1$ и указать…$ Фото задания

1. I вариант: доказать тождество $\frac{ g\alpha}{1- g^2\alpha}\cdot\frac{\ctg^2\alpha-1}{\ctg\alpha}=1$ и указать допустимые значения $\alpha$. II вариант: доказать тождество $\frac{ g\alpha}{1+\ctg^2\alpha}+\frac{\ctg\alpha}{1+ g\alpha}= g\alpha+\ctg\alpha-1$ и указать допустимые значения $\alpha$.

Accepted Answer

I вариант. Обозначим $t= g\alpha$, тогда $\ctg\alpha=1/t$:

\[\frac{t}{1-t^2}\cdot\frac{1/t^2-1}{1/t}=\frac{t}{1-t^2}\cdot\frac{1-t^2}{t}=1.\]

Допустимые значения: необходимо, чтобы были определены тангенс и котангенс, а знаменатель $1- g^2\alpha$ не обращался в ноль. Поэтому $\alpha\ne k\pi/4$, где $k\in\mathbb Z$.

II вариант. Записанное равенство не является тождеством. Например, при $ g\alpha=2$ (то есть $\ctg\alpha=1/2$) левая часть равна $\frac{8}{5}+\frac{1}{6}=\frac{53}{30}$, а правая — $2+\frac12-1=\frac32$. Следовательно, доказать это равенство нельзя: вероятно, в условии опечатка.

Область допустимых значений напечатанного выражения: $ g\alpha$ и $\ctg\alpha$ должны быть определены, а $1+ g\alpha\ne0$. Значит, $\alpha\ne k\pi/2$ и $\alpha\ne-\pi/4+k\pi$, где $k\in\mathbb Z$.

Ответ: