1. Имеется три урны. В первой урне 6 черных и 4 белых шара, во второй 5 белых и 5 черных шара, в третьей 7 белых и 3 черных шара. Случайно выбирается урна, и из неё извлекается шар. Найти вероятность того, что извлечен белый шар.

Решение:

Обозначим события:

• \(A_1\) - выбран первый урн.
• \(A_2\) - выбран второй урн.
• \(A_3\) - выбран третий урн.
• \(B\) - извлечен белый шар.

Вероятности выбора каждой урны равны, так как выбор случаен:

\( P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3} \).

Вероятности извлечения белого шара из каждой урны:

• Из первой урны: \( P(B|A_1) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = 0.4 \).
• Из второй урны: \( P(B|A_2) = \frac{5}{5+5} = \frac{5}{10} = 0.5 \).
• Из третьей урны: \( P(B|A_3) = \frac{7}{7+3} = \frac{7}{10} = 0.7 \).

По формуле полной вероятности:

\[ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \]

\[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot 0.4 + \frac{1}{3} \cdot 0.5 + \frac{1}{3} \cdot 0.7 \]

\[ P(B) = \frac{1}{3} (0.4 + 0.5 + 0.7) = \frac{1}{3} (1.6) = \frac{1.6}{3} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15} \]

Ответ: \( \frac{8}{15} \).