1. Исследовать и построить график: y = x³-3x²+4

Исследование функции и построение графика

Дана функция: y = x³ - 3x² + 4

1. Область определения:

Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: D(y) = (-∞; +∞).

2. Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: При x = 0, y = 0³ - 3(0)² + 4 = 4. Точка пересечения: (0, 4).
• С осью Ox: При y = 0, x³ - 3x² + 4 = 0.

Для нахождения корней уравнения x³ - 3x² + 4 = 0, попробуем подобрать целые корни, являющиеся делителями свободного члена (±1, ±2, ±4).

• При x = -1: (-1)³ - 3(-1)² + 4 = -1 - 3 + 4 = 0. Значит, x = -1 — корень.
• При x = 2: 2³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. Значит, x = 2 — корень.
• При x = 2 (еще раз, так как это корень кратности 2): 2³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.

Разложим многочлен на множители: (x+1)(x-2)² = 0. Точки пересечения с осью Ox: (-1, 0) и (2, 0).

3. Четность/нечетность:

f(-x) = (-x)³ - 3(-x)² + 4 = -x³ - 3x² + 4. Так как f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ -f(x), функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Производная и экстремумы:

• Найдем первую производную: y' = (x³ - 3x² + 4)' = 3x² - 6x.
• Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: 3x² - 6x = 0.
• 3x(x - 2) = 0.
• Критические точки: x = 0 и x = 2.

5. Исследование знака производной (определение промежутков монотонности и экстремумов):

Разделим числовую ось на интервалы с помощью критических точек: (-∞, 0), (0, 2), (2, +∞).

• На интервале (-∞, 0), например, при x = -1: y' = 3(-1)² - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0. Функция возрастает.
• На интервале (0, 2), например, при x = 1: y' = 3(1)² - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0. Функция убывает.
• На интервале (2, +∞), например, при x = 3: y' = 3(3)² - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0. Функция возрастает.

Выводы:

• В точке x = 0 максимум: y(0) = 4. Точка максимума: (0, 4).
• В точке x = 2 минимум: y(2) = 2³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. Точка минимума: (2, 0).

6. Вторая производная и точки перегиба (для полноты исследования, хотя для построения графика не всегда обязательно):

• Найдем вторую производную: y'' = (3x² - 6x)' = 6x - 6.
• Приравняем вторую производную к нулю: 6x - 6 = 0.
• 6x = 6, x = 1.

Исследуем знак второй производной:

• На интервале (-∞, 1), например, при x = 0: y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0. Функция выпукла вверх (вогнута).
• На интервале (1, +∞), например, при x = 2: y'' = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0. Функция выпукла вниз (выпукла).

Вывод: В точке x = 1 точка перегиба. y(1) = 1³ - 3(1)² + 4 = 1 - 3 + 4 = 2. Точка перегиба: (1, 2).

7. Построение графика:

Используя полученные точки и информацию о монотонности, можно построить график функции. Основные точки:

• Пересечение с Oy: (0, 4) - максимум.
• Пересечения с Ox: (-1, 0) и (2, 0) - минимум.
• Точка перегиба: (1, 2).

График представляет собой кубическую параболу, поднимающуюся слева, достигающую максимума в (0, 4), убывающую до минимума в (2, 0), а затем снова возрастающую.