3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на [-2; 2], если f(x) = 2x⁴ - 8x

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Дана функция: f(x) = 2x⁴ - 8x. Отрезок: [-2; 2].

1. Находим производную функции:

f'(x) = (2x⁴ - 8x)' = 8x³ - 8.

2. Находим критические точки (где производная равна нулю или не существует):

Приравняем производную к нулю: 8x³ - 8 = 0.

8x³ = 8

x³ = 1

x = 1.

Производная существует на всей области определения, поэтому единственная критическая точка — x = 1.

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка заданному отрезку:

x = 1 принадлежит отрезку [-2; 2].

4. Вычисляем значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка:

• Крайние точки отрезка:
• f(-2) = 2(-2)⁴ - 8(-2) = 2(16) + 16 = 32 + 16 = 48.
• f(2) = 2(2)⁴ - 8(2) = 2(16) - 16 = 32 - 16 = 16.
• Критическая точка внутри отрезка:
• f(1) = 2(1)⁴ - 8(1) = 2(1) - 8 = 2 - 8 = -6.

5. Сравниваем полученные значения:

Полученные значения функции: 48, 16, -6.

• Наибольшее значение равно 48.
• Наименьшее значение равно -6.

Ответ:

• Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно 48.
• Наименьшее значение функции на отрезке [-2; 2] равно -6.