2. Составить уравнения касательной и построить график f(x) = 3х – х² в хо= 1

Составление уравнения касательной и построение графика

Дана функция: f(x) = 3x - x². Точка касания: x₀ = 1.

1. Находим значение функции в точке касания:

f(x₀) = f(1) = 3(1) - 1² = 3 - 1 = 2. Координата точки касания: (1, 2).

2. Находим производную функции:

f'(x) = (3x - x²)' = 3 - 2x.

3. Находим значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):

f'(x₀) = f'(1) = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1. Угловой коэффициент (k) касательной равен 1.

4. Составляем уравнение касательной по формуле y - y₀ = k(x - x₀):

y - 2 = 1(x - 1)

y - 2 = x - 1

y = x - 1 + 2

y = x + 1

Уравнение касательной: y = x + 1.

5. Построение графика:

График функции f(x) = 3x - x²:

• Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при x² отрицательный).
• Найдем вершину параболы. Абсцисса вершины: x = -b / (2a) = -3 / (2 * -1) = -3 / -2 = 1.5.
• Ордината вершины: f(1.5) = 3(1.5) - (1.5)² = 4.5 - 2.25 = 2.25. Вершина параболы: (1.5, 2.25).
• Найдем точки пересечения с осью Ox (y = 0): 3x - x² = 0 → x(3 - x) = 0. Корни: x = 0 и x = 3. Точки: (0, 0) и (3, 0).
• Найдем точку пересечения с осью Oy (x = 0): f(0) = 3(0) - 0² = 0. Точка: (0, 0).

График касательной y = x + 1:

• Это прямая линия.
• Точка касания: (1, 2).
• Можно найти еще одну точку, например, при x = 0, y = 0 + 1 = 1. Точка: (0, 1).

На графике следует нарисовать параболу f(x) = 3x - x² и прямую y = x + 1, которая касается параболы в точке (1, 2).