1. Исследуйте функцию $f(x)=-x^3+3x^2-4$ и постройте её график.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Исследуйте функцию $f(x)=-x^3+3x^2-4$ и постройте её график.$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: все действительные числа.

Находим производную: $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Критические точки: $x=0$ и $x=2$.
По знаку производной функция убывает на $(-\infty,0)$, возрастает на $(0,2)$ и убывает на $(2,+\infty)$. Здесь $-\infty$ следует читать как $-\infty$.
В критических точках: $f(0)=-4$, $f(2)=0$. Значит, $(0,-4)$ — точка локального минимума, а $(2,0)$ — точка локального максимума.
Разложение на множители: $f(x)=-(x-2)^2(x+1)$. Нули функции: $x=-1$ и $x=2$, причём $x=2$ — корень кратности 2.
Вторая производная $f''(x)=-6x+6$ обращается в ноль при $x=1$; точка перегиба — $(1,-2)$.
При $x\to-\infty$ функция стремится к $+\infty$, а при $x\to+\infty$ — к $-\infty$. Для построения графика отметим корни, экстремумы и точку перегиба.

1. Исследуйте функцию \(f(x)=-x^3+3x^2-4\) и постройте её график.