3. Необязательное задание. Докажите, что функция \(f(x)=2\sin x\sin(0{,}5\pi+x)+3{,}2x\) возрастает на множестве [числовые данные обрезаны].

Окончание условия с указанием множества обрезано. Однако функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому она возрастает и на любом множестве, которое могло быть указано в задании.

1. Используем тождество \(\sin(0{,}5\pi+x)=\cos x\): \(f(x)=2\sin x\cos x+3{,}2x=\sin 2x+3{,}2x\).

2. Находим производную: \(f'(x)=2\cos 2x+3{,}2\).

3. Так как \(-1\le\cos 2x\le1\), имеем \(f'(x)\ge-2+3{,}2=1{,}2>0\) при всех \(x\in\mathbb R\). Следовательно, функция строго возрастает на всей числовой прямой.

Если требуется указать именно заданное в условии множество, пришлите его: конец строки на изображении обрезан.