2. Число 9 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим.

Пусть \(x\) — слагаемое, квадрат которого берётся, а \(y\) — другое слагаемое. Тогда \(x+y=9\), где \(x,y\ge 0\), а произведение равно \(P=3x^2y\).

1. Подставим \(y=9-x\): \(P(x)=3x^2(9-x)\), где \(0\le x\le 9\).

2. Найдём критические точки: \(P'(x)=54x-9x^2=9x(6-x)\). Внутри отрезка критическая точка — \(x=6\).

3. Сравним значения на концах и в критической точке: \(P(0)=0\), \(P(6)=324\), \(P(9)=0\). Максимум достигается при \(x=6\), поэтому \(y=3\).

Ответ: \(9=6+3\); наибольшее произведение равно \(6^2\cdot3\cdot3=324\).