1) Из города А в город В, расстояние между которыми равно 450 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость первого автомобиля на 15 км/ч больше скорости второго. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый прибыл в город В на 1 час раньше второго.

Решение:

1. Обозначим скорость второго автомобиля за \( x \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна \( x + 15 \) км/ч.
2. Время в пути первого автомобиля: \( t_1 = \frac{450}{x+15} \) ч.
3. Время в пути второго автомобиля: \( t_2 = \frac{450}{x} \) ч.
4. По условию, первый автомобиль прибыл на 1 час раньше второго, значит \( t_2 - t_1 = 1 \).
5. Составим и решим уравнение: \( \frac{450}{x} - \frac{450}{x+15} = 1 \).
6. Умножим обе части уравнения на \( x(x+15) \): \( 450(x+15) - 450x = x(x+15) \).
7. Раскроем скобки: \( 450x + 6750 - 450x = x^2 + 15x \).
8. Упростим: \( 6750 = x^2 + 15x \).
9. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + 15x - 6750 = 0 \).
10. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6750) = 225 + 27000 = 27225 \).
11. \( \sqrt{D} = \sqrt{27225} = 165 \).
12. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-15 + 165}{2} = \frac{150}{2} = 75 \) (км/ч). \( x_2 = \frac{-15 - 165}{2} = \frac{-180}{2} = -90 \) (км/ч).
13. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( x = 75 \) км/ч — скорость второго автомобиля.
14. Скорость первого автомобиля: \( x + 15 = 75 + 15 = 90 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 90 км/ч, скорость второго — 75 км/ч.