8) Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 7 и 4. Найдите угол между биссектрисами равных углов.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть эти углы равны \( 7x \) и \( 7x \), а угол при вершине равен \( 4x \).
2. Сумма углов треугольника равна \( 180^ \): \( 7x + 7x + 4x = 180^ \).
3. \( 18x = 180^ \) => \( x = 10^ \).
4. Углы при основании равны \( 7x = 7 \cdot 10^ = 70^ \), а угол при вершине равен \( 4x = 4 \cdot 10^ = 40^ \).
5. Биссектрисы равных углов (углов при основании) делят эти углы пополам.
6. Угол, образованный биссектрисами, является углом в треугольнике, образованном двумя биссектрисами и основанием.
7. Рассмотрим треугольник, образованный двумя биссектрисами равных углов и боковой стороной.
8. Углы при основании этого треугольника будут \( \frac{70^}{2} = 35^ \) каждый.
9. Сумма углов в этом треугольнике: \( 35^ + 35^ + \alpha = 180^ \), где \( \alpha \) — угол между биссектрисами.
10. \( 70^ + \alpha = 180^ \) => \( \alpha = 180^ - 70^ = 110^ \).
11. Примечание: Если бы углы пропорциональны 7 и 4 были бы угол при вершине и угол при основании, то:
12. Случай 1: \( 4x + 7x + 7x = 180^ \) => \( 18x = 180^ \) => \( x = 10^ \). Углы: \( 40^, 70^, 70^ \). Биссектрисы равных углов (70) дадут угол \( 110^ \) (как в первом случае).
13. Случай 2: \( 7x + 4x + 4x = 180^ \) => \( 15x = 180^ \) => \( x = 12^ \). Углы: \( 7 x 12^ = 84^, 4 x 12^ = 48^, 48^ \). Биссектрисы равных углов (48) дадут угол \( 180^ - (24^ + 24^) = 180^ - 48^ = 132^ \).
14. Условие задачи неоднозначно, но чаще всего подразумевается, что углы при основании относятся как 7:4.

Ответ: Угол между биссектрисами равных углов равен \( 110^ \).