9) Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят угол на три равные части.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом \( \angle C = 90^ \).
2. Пусть острый угол \( \angle A = 30^ \). Тогда \( \angle B = 180^ - 90^ - 30^ = 60^ \).
3. Проведем высоту \( CH \) из вершины прямого угла \( C \) на гипотенузу \( AB \).
4. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACH \) \( \angle CAH = 30^ \) и \( \angle ACH = 90^ - 30^ = 60^ \).
5. Проведем медиану \( CM \) из вершины прямого угла \( C \) на гипотенузу \( AB \).
6. Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: \( CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB \).
7. Рассмотрим треугольник \( \triangle AMC \). Он равнобедренный, так как \( AM = CM \).
8. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle ACM = \angle CAM = 30^ \).
9. Теперь посмотрим на углы, на которые высота и медиана делят прямой угол \( \angle ACB = 90^ \).
10. Угол \( \angle ACM = 30^ \) (это часть угла, образованная медианой).
11. Угол \( \angle BCH \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle BCH \) равен \( \angle B = 60^ \) (так как \( \angle CBH = 60^ \) и \( \angle CHB = 90^ \)).
12. Угол \( \angle HCM \) равен разности \( \angle ACB - \angle ACH - \angle BCH \) или \( \angle ACB - \angle ACM - \angle BCH \).
13. Угол \( \angle HCM = \angle ACB - \angle ACH - \angle BCH = 90^ - 60^ - 30^ = 0^ \) (неправильный путь).
14. Лучше найти \( \angle HCM \) как разность \( \angle ACM \) и \( \angle ACH \): \( \angle HCM = \angle ACH - \angle ACM = 60^ - 30^ = 30^ \).
15. Итак, мы имеем три угла: \( \angle ACM = 30^ \), \( \angle HCM = 30^ \) и \( \angle BCH = 60^ \).
16. Это не три равные части. Проверим условие.
17. Пересмотр: Углы \( \angle A = 30^, \angle B = 60^ \).
18. Высота \( CH \). В \( \triangle ACH \): \( \angle ACH = 90^ - 30^ = 60^ \).
19. Медиана \( CM \). В \( \triangle AMC \), \( AM = CM \) (свойство медианы в прямоуг. тр-ке). \( \triangle AMC \) равнобедренный. \( \angle ACM = \angle CAM = 30^ \).
20. \( \angle ACB = 90^ \).
21. Угол, образованный медианой и высотой: \( \angle HCM = \angle ACH - \angle ACM = 60^ - 30^ = 30^ \).
22. Углы, на которые делят прямой угол медиана и высота: \( \angle ACM = 30^ \) (часть, образованная медианой), \( \angle HCM = 30^ \) (угол между медианой и высотой), \( \angle BCH = 180^ - 90^ - 60^ = 30^ \) (угол, образованный высотой).
23. Таким образом, прямой угол \( \angle ACB \) делится на три равные части: \( \angle ACM = 30^ \), \( \angle HCM = 30^ \), \( \angle BCH = 30^ \).

Что и требовалось доказать.