1. К окружности с центром О проведена касательная МК, где К — точка касания, \(\angle\) МОК = 60°, ОМ = 12. Найдите радиус окружности.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OKM \) (где \( OK \) — радиус, а \( MK \) — касательная, значит, \( \angle OKM = 90° \)) мы знаем гипотенузу \( OM = 12 \) и угол \( \angle MOK = 60° \). Радиус \( OK \) является катетом, прилежащим к углу \( \angle MOK \).

Используем формулу для косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

\( \cos(\angle MOK) = \frac{OK}{OM} \)

Подставляем известные значения:

\( \cos(60°) = \frac{OK}{12} \)

Мы знаем, что \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \). Следовательно:

\( \frac{1}{2} = \frac{OK}{12} \)

Чтобы найти \( OK \), умножим обе части уравнения на 12:

\( OK = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \)

Радиус окружности равен 6.

Ответ: 6.